My lesson

Kresem dolnym zbioru A w N

Kresem dolnym zbioru A w N nazywamy taki element inf A ∈ N, dla którego zachodzą oba poniższe warunki: • inf A jest minorantą zbioru A, • jeśli b jest minorantą zbioru A, to inf A ≥ b

Maksimum zbioru A

Maksimum zbioru A nazywamy taki element max A ∈ A, że ∀a ∈ A: a ≤ max A

a jest majorantą A

Mówimy, że a jest majorantą A, jeśli ∀x ∈ A: x ≤ a

Zbiór A jest ograniczony

Zbiór A jest ograniczony od dołu, jeśli istnieje jakaś jego minoranta,

Kresem górnym zbioru A w N

Kresem górnym zbioru A w N nazywamy taki element sup A ∈ N, dla którego zachodzą oba poniższe warunki: • sup A jest majorantą zbioru A, • jeśli b jest majorantą zbioru A, to sup A ≤ b

Zasada minimum

Jeśli ∅ ≠ A ⊂ N, to istnieje min A

Zasada indukcji matematycznej

Jeśli A ⊂ N jest taki, że (i) 0 ∈ A oraz (ii) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, to A = N.

Zasada indukcji zupełnej

Jeśli A ⊂ N* jest taki, że (i) 1 ∈ A oraz (ii) {1, ..., n} ⊂ A⇒ n + 1 ∈A, to A = N*

zbiór nieskończony A jest przeliczalny

zbiór nieskończony A jest przeliczalny, jeśli istnieje odwzorowanie różnowartościowe i „na” (czyli bijekcja) N → A (to znaczy o dziedzinie N i przeciwdziedzinie A).

Zbiór jest co najwyżej przeliczalny

Zbiór jest co najwyżej przeliczalny, jeśli jest albo skończony albo przeliczalny.

gęstość Q

∀a, b ∈ Q: a < b ⇒ ∃c ∈ Q: a < c < b

aksjomat Dedekinda

każdy niepusty zbiór ograniczony od dołu ma kres dolny (jak również każdy niepusty zbiór ograniczony od góry ma kres górny)

Przekrój Dedekinda

Przekrojem Dedekinda nazywamy parę [A, B], gdzie A, B to rozłączne niepuste podzbiory Q, takie, że A ∪ B = Q oraz ∀a ∈ A ∀b ∈ B: a < b.

Przekrój Dedekinda [A, B] nazywamy unormowanym

Przekrój Dedekinda [A, B] nazywamy unormowanym, jeśli nie istnieje min B. Na przykład, jeśli A = {x ∈ Q: x < 0} i B = Q \ A, to [A, B] nie jest unormowany. Ale jeśli A' = {x ∈ Q: x ≤ 0}, B' = Q \ A', to [A', B'] jest unormowany

Zasada Archimedesa

Dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna, która jest od niej większa

Gęstość Q w R

Jeśli a, b ∈ R i a < b, to istnieje takie q ∈ Q, że a < q < b.

Nierówność Bernoullego

∀δ > −1 ∀n ∈ N: (1 + δ)^n ≥ 1 + nδ

Aksjomat Dedekinda zbioru R

Zbiór liczb rzeczywistych R spełnia aksjomat Dedekinda, to znaczy każdy jego podzbiór niepusty i ograniczony od góry posiada kres górny, a każdy jego niepusty podzbiór ograniczony od dołu posiada kres dolny.

Ułamki Fareya

.

Modułem liczby zespolonej z = a + bi

|z| = √(a^2 + b^2)

kołem otwartym o środku w i promieniu r nazywamy

Zbiór K (w, r) = {z ∈ C: |z − w| < r}

mówimy, że A ⊂ C jest ograniczony

jeśli istnieją takie w ∈ C oraz r > 0, że A ⊂ K(w, r)

A ⊂ C jest wypukły jeśli

∀z, w ∈ A ∀t ∈ [0, 1]: (1 − t) z + tw ∈ A.

Nierówność Schwarza

.

Rodzaje ułamków prostych

.

Funkcje cyklometryczne

funkcje odwrotne do odpowiednich injektywnych zacieśnień funkcji trygonometrycznych.

arc

bue

funkcja signum

funkcja signum

funkcje hiperboliczne

funkcje hiperboliczne

Ekstremum globalne

Niech A ⊂ C, a ∈ A oraz f: A → R. Mówimy, że f ma w a maksimum (odp. minimum) globalne, gdy ∀x ∈ A: f(x) ≤ f(a) (odp. f(x) ≥ f(a)). Ekstremum to albo maksimum, albo minimum

Funkcje wypukłe i wklęsłe

Niech A ⊂ R będzie przedziałem, f: A → R. Mówimy, że f jest wypukła, jeśli ∀a, b ∈ A ∀t ∈ [0, 1]: f(ta + (1 − t)b) ≤ tf(a) + (1 − t) f(b). Natomiast f jest wklęsła, jeśli funkcja h:= −f jest wypukła.

Nierówność Jensena

Nierówność Jensena

Jedyność granicy

Każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę

Granica ciągu

Niech (an)∞ n=1 ⊂ C oraz a ∈ C. Mówimy, że ciąg (an)∞ n=1 jest zbieżny do a, albo że a jest granicą ciągu (an)∞ n=1, jeśli ∀ε > 0 ∃N ∈ N* ∀n ≥ N: |an − a| < ε. Jeśli ciąg nie ma granicy, to mówimy, że jest rozbieżny.

Ograniczoność ciągu

.

Ograniczoność ciągu zbieżnego

Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony

(O iloczynie ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera)

(O iloczynie ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera)

O działaniach na granicach

O działaniach na granicach

O zachowaniu nierówności słabej w granicy

O zachowaniu nierówności słabej w granicy

(O zachowaniu znaku)

(O zachowaniu znaku)

O trzech ciągach

O trzech ciągach

Kryterium zbieżności ciągów monotonicznych

Kryterium zbieżności ciągów monotonicznych

Własności liczby Eulera

Własności liczby Eulera

O kresie nie będącym elementem zbioru

Niech A ⊂ R będzie niepustym zbiorem ograniczonym od góry (odp. od dołu) nie posiadającym maksimum (odp. minimum). Wtedy istnieje ciąg rosnący (odp. malejący) elementów zbioru A zbieżny do sup A (odp. inf A)

Ciągowy warunek konieczny i wystarczający kresu

Ciągowy warunek konieczny i wystarczający kresu

Zstępujący ciąg przedziałów domkniętych i ograniczonych

Zstępujący ciąg przedziałów domkniętych i ograniczonych

O mieszaniu wyrazów ciągu

.

Podciąg ciągu

Podciąg ciągu

o granicy podciągu

o granicy podciągu

Twierdzenie Cauchy'ego o podciągach

Twierdzenie Cauchy'ego o podciągach

O rozkładzie zupełnym na podciągi

O rozkładzie zupełnym na podciągi

Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa

Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa

Odpowiednik Twierdzenia Bolzana-Weierstrassa w C

Z każdego ograniczonego ciągu liczb zespolonych da się wybrać podciąg zbieżny.

Ciąg Cauchy’ego

Ciąg Cauchy'ego

O zespolonych ciągach Cauchy’ego

Ciąg liczb zespolonych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy’ego